物理⑤
今回は力学量の話第二弾として運動エネルギーについて説明しようと思います。
運動エネルギー
運動エネルギーも、運動方程式 F＝ｍa から派生したものです。
発想としては運動方程式の両辺に 位置ｒまたは速度ｖ をかけてみて、なにか情報が得られないかというようなものです。まず、位置rをかけてみます。
F・ｒ＝(m・dv/dt)・ｒ
＝d(mv・r)/dt－mv・v
(一行目から二行目の式変形は部分積分に似た変形をしています。両辺にdtをかけて積分の形にして、左辺とmv・vを入れ替えてみると部分積分の形になると思います。)
しかし、一般的にmv・v＝0にはならず、値は変動してしまうのでこの関係式は扱いずらいです。
次に、運動方程式の両辺に速度ｖをかけてみます。
F・ｖ=(m・dv/dt)・ｖ
＝d(mv^2)/dt－mv・dv/dt
（式変形は先ほどと同様にするとできると思います。）
太字の部分は同じものであるので、それを左辺に集めて両辺を２で割ると
ｍ・dv/dt・ｖ＝ｄ(mv^2/2)/dt
よって、運動エネルギー K＝mv^2/2 と定義すると上の式は
ｄK/dt＝F・ｖ となります。
よって、運動エネルギーの変化量 ΔＫは
ΔK＝ｄK/dt・dt
＝F・ｖ・dt
=F・dr （dr＝ｖ・dt）
つまり、運動エネルギーは力と距離変化の積である仕事Wによって変化することが分かります。